Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．
（I）E為棱PC的中點，求證：OE∥平面PAB；
（II）求證：平面PAD⊥平面PBD；
（III） 若PD⊥PB，AD=2求四棱錐P-ABCD體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得O為AC中點，又E為PC中點，由三角形中位線定理可得OE∥PA，再由線面平行的判定可得OE∥平面PAB；
（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，再由AD⊥BD，可得AD⊥平面PBD，進一步得到平面PAD⊥平面PBD；
（Ⅲ）由已知求出平行四邊形ABCD的面積，進一步求出高PO，再由體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O為AC中點，又E為PC中點，∴OE是△PAC的中位線．
∴OE∥PA，而OE?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OE∥平面PAB；
（Ⅱ）證明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，
又AD⊥BD，且BD∩PO=O，
∴AD⊥平面PBD，而AD?平面PBD，
∴平面PAD⊥平面PBD；
（Ⅲ）由AD⊥BD，且AD=BD，AD=2，∴S_{四邊形ABCD}=2×2=4，
又PD⊥PB，PO⊥BD，可得PO=$\frac{1}{2}BD=1$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×4×1=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，考查棱錐體積的求法，是中檔題．