Question

9．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-sin（x+π）．
（Ⅰ）求f（x）的定義域和最小正周期；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，解x可得f（x）的定義域．利用二倍角和誘導公式及輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x），x∈[0，π]時，求出內層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，可求出g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，
解得：x≠$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
∴f（x）的定義域為{x∈R|x≠$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z}．
函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-sin（x+π）．
化解可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+sinx．
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx．
=sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=2π$．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到2sin（x$-\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）；
即g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）
∵x∈[0，π]時，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴當x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）取得最大值為2．
∴當x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，函數(shù)g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）取得最小值為-1．
故得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值是2，最小值是-1．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．