Question

四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．
（1）以向量

AB

方向?yàn)閭?cè)視方向，畫(huà)出側(cè)視圖并標(biāo)明長(zhǎng)度（要求說(shuō)明理由）；
（2）求證：CN∥平面AMD；
（3）（理科做，文不做）求面AMN與面NBC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出以向量

AB

方向?yàn)閭?cè)視方向的側(cè)視圖為邊長(zhǎng)是1的正方形．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CN∥平面AMD．
（3）分別求出平面NBC的一個(gè)法向量和平面AMN的法向量，由此能求出面AMN與面NBC所成的銳二面角的余弦值．

解答： （1）解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
∴AB⊥面BCN，DC⊥面BCN，
∴以向量

AB

方向?yàn)閭?cè)視方向的側(cè)視圖為如圖所示的邊長(zhǎng)是1的正方形．
（2）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），
M（0，0，1），N（1，1，1），
∴

CN

=(1，0，1)，
∵DC⊥AD，DC⊥DM，AD∩∩DM=D，
∴DC⊥平面AMD，
∴平面AMD的一個(gè)法向量為

DC

=（0，1，0），
∵

DC

•

CN

=0，
∴CN∥平面AMD．
（3）解：∵平面NBC∥平面AMD，
∴平面NBC的一個(gè)法向量為

DC

=(0，1，0)，
設(shè)平面AMN的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

AM

=(-1，0，1)，

AN

=(0，1，1)，
∴

n • AM =-x+z=0 n • AN =y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
∴cos＜

n

，

CD

＞=

-1

3

=-

3

3

．
∴面AMN與面NBC所成的銳二面角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查側(cè)視圖的作法，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．