Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|2x-2|
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）≤a-2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）≥0，分類討論，求得每個(gè)不等式的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得f_max（x）≤a-2，由（1）可得f_max（x）=3，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）x≤-$\frac{1}{2}$，不等式可化為-2x-1+2x-2≥0，不成立；
-$\frac{1}{2}$＜x＜1，不等式可化為2x+1+2x-2≥0，∴x≥$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{4}$≤x＜1；
x≥1，不等式可化為2x+1-2x+2≥0，恒成立，
綜上可得，不等式的解集為[$\frac{1}{4}$，+∞）．
（2）∵f（x）≤a-2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，∴f_max（x）≤a-2．
由（1）可得，f_max（x）=3，∴3≤a-2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)檔題．