Question

17．已知等腰三角形底角的余弦值為$\frac{1}{3}$，則頂角的余弦值是$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 設(shè)底角為a，則頂角為π-2a，由已知cosa，結(jié)合sin²α+cos²α=1，求出sina，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出sin（π-2a），進(jìn)一步求出頂角的余弦值得答案．

解答 解：設(shè)底角為a，則頂角為π-2a，由已知cosa=$\frac{1}{3}$，又sin²α+cos²α=1，
得sina=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（由于a＜$\frac{π}{2}$舍去sina=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴sin（π-2a）=sin2a=2sinacosa=$2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴cos（π-2a）=$\sqrt{1-（\frac{4\sqrt{2}}{9}）^{2}}=\frac{7}{9}$．
則頂角的余弦值是：$\frac{7}{9}$．
故答案為：$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．