Question

12．函數(shù)y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1上，且m，n＞0，則3m+n的最小值16．

Answer 1

分析 利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點A（-3，-1），將點A的坐標(biāo)代入$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1，結(jié)合題意，利用基本不等式即可．

解答 解：∵x=-3時，函數(shù)y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）值恒為-1，
∴函數(shù)y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（-3，-1），
又點A在直線$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1上，
∴$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，又m，n＞0，
∴3m+n=（3m+n）•1
=（3m+n）•（$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=9+1+$\frac{3n}{m}$+$\frac{3m}{n}$+
≥10+2$\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{3m}{n}}$
=16（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4時取“=”）．
故答案為：16

點評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，利用指數(shù)函數(shù)的圖象過定點求出點的坐標(biāo)，再由“1”的整體代換湊出積為定值，利用基本不等式進行求解，注意“一正、二定、三相等”的驗證．