Question

20．已知中心在原點的橢圓E的左焦點F（-$\sqrt{3}$，0），右頂點A（2，0），拋物線C焦點為A．
（1）求橢圓E與拋物線C的標準方程；
（2）若過（0，1）的直線 l 與拋物線C有且只有一個交點，求直線 l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則a=2，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²．可得橢圓標準方程．由題意可設(shè)拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），則$\frac{p}{2}$=2，解得p，可得拋物線的標準方程．
（2）①直線l的斜率不存在時，取x=0，與拋物線有且僅有一個交點（0，0）．
②直線l的方程為：y=kx+1，k=0滿足直線 l 與拋物線C有且只有一個交點（$\frac{1}{8}$，1）．k≠0時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為：k²x²+（2k-8）x+1=0，△=0，解得k，即可得出．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則a=2，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1．
∴橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由題意可設(shè)拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），則$\frac{p}{2}$=2，解得p=4，拋物線的標準方程為：y²=8x．
（2）①直線l的斜率不存在時，取x=0，與拋物線有且僅有一個交點（0，0）．
②直線l的方程為：y=kx+1，
k=0滿足直線 l 與拋物線C有且只有一個交點（$\frac{1}{8}$，1），此時直線l的方程為：y=1．
k≠0時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為：k²x²+（2k-8）x+1=0，△=（2k-8）²-4k²=0，解得k=2．直線l的方程為：y=2x+1．
綜上可得直線l的方程為：x=0，y=1，或y=2x+1．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．