Question

5．已知直線l：ax+2y+3=0和圓C：（x-2）²+（y+3）²=4，且直線l和直線2x-y+5=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a； 
（2）若直線l與圓C交于點(diǎn)A、B，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用兩直線垂直，斜率乘積等于-1，即可求a的值．
（2）直線l與圓C交于點(diǎn)A、B，求出弦長(zhǎng)AB，利用圓心到直線l的距離就是高，可得△ABC的面積．

解答 解：（1）由題意：直線l：ax+2y+3=0與直線2x-y+5=0垂直，
可得：$-\frac{a}{2}×2=-1$，
解得：a=4．
故得實(shí)數(shù)a的值為：4．
所以直線l為：4x+2y+3=0．
（2）由（1）可得直線l為：4x+2y+3=0．圓C：（x-2）²+（y+3）²=4，圓心（2，-3），半徑r=2．
直線l與圓C交于點(diǎn)A、B，
圓心到直線的距離d=$\frac{|4×2-2×3+3|}{\sqrt{16+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-l4e1yzx^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{5}{4}}$=$\sqrt{11}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|×d=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{11}=\frac{\sqrt{55}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考了兩條直線垂直的斜率關(guān)系和直線與圓的弦長(zhǎng)的運(yùn)用問題．屬于基礎(chǔ)題．