Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥0\\-x{e^x}，x＜0\end{array}\right.$，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，設(shè)m=f（x），利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f′（x）≤0．
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）=-xe^x在（-∞，0）上有一個(gè)極大值為
f（-1）=$\frac{1}{e}$，作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：
設(shè)m=f（x），當(dāng)m＞$\frac{1}{e}$時(shí)，方程m=f（x）有1個(gè)解，
當(dāng)m=$\frac{1}{e}$時(shí)，方程m=f（x）有2個(gè)解，
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{e}$時(shí)，方程m=f（x）有3個(gè)解，
當(dāng)m=0時(shí)，方程m=f（x），有1個(gè)解，
當(dāng)m＜0時(shí)，方程m=f（x）有0個(gè)解，
則方程f²（x）+tf（x）+1=0等價(jià)為m²+tm+1=0，
要使關(guān)于x的方程f²（x）+tf（x）+1=0恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)為方程m²+tm+1=0有兩個(gè)不同的根m₁＞$\frac{1}{e}$且0＜m₂＜$\frac{1}{e}$，
設(shè)g（m）=m²+tm+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=1＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{t}{e}+1＜0}\end{array}\right.$，即t＜-e-$\frac{1}{e}$，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為：$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．
故答案為：$（-∞，-e-\frac{1}{e}）$．

點(diǎn)評 本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．