Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a、b滿(mǎn)足f（2a+b）＞1，則$\frac{b+1}{a+1}$的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，3）
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，5）

Answer 1

分析 首先結(jié)合導(dǎo)數(shù)的圖象得到函數(shù)在（0，+∞）的單調(diào)性，由f（4）=1，將不等式f（2a+b）＞1轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，結(jié)合簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題求$\frac{b+1}{a+1}$的取值范圍．

解答 解：由題意f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，
并且兩個(gè)正數(shù)a、b滿(mǎn)足f（2a+b）＞1，
即f（2a+b）＞f（4），所以2a+b＜4，a，
b滿(mǎn)足的區(qū)域如圖，
則$\frac{b+1}{a+1}$的最大值是與（-1，-1）與圖中B的連接直線(xiàn)的斜率為$\frac{4-（-1）}{0-（-1）}$=5，
最小值為與A連接直線(xiàn)的斜率為$\frac{0-（-1）}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，
所以則$\frac{b+1}{a+1}$的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，5）；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的大小與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及單調(diào)性的運(yùn)用；所求利用簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃解答，直觀(guān)易懂．