Question

8．邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{BN}$，則$\overrightarrow{AM•}\overrightarrow{AN}$=$\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，根據(jù)條件可得出$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$，從而得出$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，這樣代入$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MD}$；
∴M為DC的中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；
$\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{BN}$；
∴N為線段DB靠近B的三等分點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$
=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}）$
=$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）•[\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）]$
=$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AD}}^{2}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}+\frac{5}{12}+\frac{1}{3}$
=$\frac{13}{12}$．
故答案為：$\frac{13}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，以及向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法和減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算．