【題目】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.

【答案】見解析

【解析】

(1)解 設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a-d,a,a+d.

依題意,得a-d+a+a+d=15.

解得a=5.

所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d.

依題意,有(7-d)(18+d)=100,

解得d=2或d=-13(舍去).

故{bn}的第3項(xiàng)為5,公比為2.

由b3=b1·22,即5=b1·22,

解得b1.

所以bn=b1·qn-1·2n-1=5·2n-3

即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=5·2n-3.

(2)證明 由(1)得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

Sn=5·2n-2,即Sn=5·2n-2.

所以S1,=2.

因此是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

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