Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，橢圓的離心率為e₁，雙曲線的離心率為e₂，若|PF₂|=|F₁F₂|，則$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$的最小值為（　�。�

• A． 6+2$\sqrt{3}$
• B． 8
• C． 6+2$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 通過(guò)圖象可知：|PF₂|=|F₁F₂|=2c，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0），利用橢圓、雙曲線的定義及離心率公式可得$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式即得結(jié)論．

解答 解：由題意可知：|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0），
又∵|F₁P|+|F₂P|=2a₁，|PF₁|-|F₂P|=2a₂，
∴|F₁P|+2c=2a₁，|F₁P|-2c=2a₂，
兩式相減，可得：a₁-a₂=2c，
則$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$=$\frac{c}{3{a}_{2}}$+$\frac{3{a}_{1}}{c}$=$\frac{9{a}_{1}{a}_{2}+{c}^{2}}{3c{a}_{2}}$=$\frac{9{a}_{2}（{a}_{2}+2c）+{c}^{2}}{3c{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{9{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{{a}_{2}}$+18）
≥$\frac{1}{3}$•（2$\sqrt{\frac{9{a}_{2}}{c}•\frac{c}{{a}_{2}}}$+18）=8．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{9{a}_{2}}{c}$=$\frac{c}{{a}_{2}}$，即有e₂=3時(shí)等號(hào)成立，
則$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$的最小值為8，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．