Question

16．$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sin2x，cos2x），\overrightarrow b=（cos2x，-cos2x），f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$．
（1）若$x∈（\frac{7}{24}π，\frac{5}{12}π）$時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}=-\frac{3}{5}$，求cos4x的值；
（2）將$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$的圖象向左移$\frac{π}{8}$，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得y=g（x），若關(guān)于g（x）+m=0在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求出cos（4x+$\frac{π}{3}$）的值，再利用三角恒等變換求出cos4x的值；
（2）由（1）知f（x）的解析式，利用圖象平移和變換得出g（x）的解析式，畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象，結(jié)合圖象求出m的取值范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin2x，cos2x），$\overrightarrow$=（cos2x，-cos2x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sin2xcos2x-cos²2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$cos4x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$
=-cos（4x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（4x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$；
又$x∈（\frac{7}{24}π，\frac{5}{12}π）$時(shí)，4x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
∴sin（4x+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1{-（\frac{3}{5}）}^{2}}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cos4x=cos[（4x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]
=cos（4x+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（4x+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x-$\frac{1}{2}$cos4x=sin（4x-$\frac{π}{6}$），
將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，得y=sin[4（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（4x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將y各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
則y=g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象，如圖所示；

則g（x）+m=0在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，
應(yīng)滿足-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤-m＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-m=1；
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或m=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是綜合題．