Question

12．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，則cosα=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．

Answer 1

分析 法一：由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+$\frac{π}{3}$），進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解．
法二：由已知利用兩角和的余弦函數(shù)公式可得sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα+$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡整理可得36cos²α+24cosα-11=0，結(jié)合α的范圍即可得解．

解答 解：法一：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，
∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=（-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．
法二：∵cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，可得：$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=-$\frac{2}{3}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα+$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
又∵sin²α+cos²α=1，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα+$\frac{4\sqrt{3}}{9}$）²+cos²α=1，整理可得：36cos²α+24cosα-11=0，
∴解得：cosα=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$，或$\frac{-2-\sqrt{15}}{6}$．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：cosα＞0，故cosα=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．

點評 本題主要考查了兩角和的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．