Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=3b_n-2λ•$\frac{{a}_{n}}{3}$（λ∈R），若數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{q+（6+d）=12}\\{6+d={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得d，q即可得出．
（2）由（1）可知c_n=3ⁿ-2λn，由數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，可知c_n＜c_n+1恒成立，代入化簡即可得出．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{q+（6+d）=12}\\{6+d={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得d=q=3，
所以a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知c_n=3ⁿ-2λn，
由數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，可知c_n＜c_n+1恒成立，
即3ⁿ-2λn＜3ⁿ⁺¹-2λ（n+1）恒成立，即λ＜3ⁿ恒成立，
顯然，數(shù)列{3ⁿ}是遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n=1時(shí)，3ⁿ取最小值3，
所以λ＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．