Question

1．已知圓M上一點A（1，-1）關(guān)于直線y=x的對稱點仍在圓M上，直線x+y-1=0截得圓M的弦長為$\sqrt{14}$．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)P是直線x+y+2=0上的動點，PE、PF是圓M的兩條切線，E、F為切點，求四邊形PEMF面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，圓心在直線y=x上，設(shè)為（a，a），圓的方程為（x-a）²+（y-a）²=r²，代入A的坐標，利用直線x+y-1=0截得圓M的弦長為$\sqrt{14}$，由此可得結(jié)論；
（2）先表示出四邊形PEMF面積，再轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離即可．

解答 解：（1）由題意，圓心在直線y=x上，設(shè)為（a，a），圓的方程為（x-a）²+（y-a）²=r²，
則（1-a）²+（1-a）²=r²，$（\frac{|2a-1|}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}={r}^{2}$，
解的a=1，r²=4，
圓∴M的方程為（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）由切線的性質(zhì)知：四邊形PEMF的面積S=|PE|•r，
四邊形PEMF的面積取最小值時，|PM|最小，即為圓心M到直線x+y+2=0的距離，即|PM|_min=$2\sqrt{2}$，得|PE|_min=2．知四邊形PEMF面積的最小值為4．

點評 本題考查圓的標準方程，考查四邊形面積的求解，考查學生分析解決問題的能力，正確表示四邊形PEMF的面積是關(guān)鍵．