Question

9．f（x）=ax³-x²+x+2，$g（x）=\frac{elnx}{x}$，?x₁∈（0，1]，?x₂∈（0，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），則實數a 的取值范圍是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 求出g（x）的最大值，問題轉化為ax³-x²+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$在（0，1]恒成立，令h（x）=$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$，x∈（0，1]，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：g′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，而x∈（0，1]，
故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，
故g（x）在（0，1]遞增，
g（x）_max=g（1）=0，
若?x₁∈（0，1]，?x₂∈（0，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），
只需f（x）_min≥g（x）_max即可；
故ax³-x²+x+2≥0在（0，1]恒成立，
即a≥$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$在（0，1]恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-x-2}{{x}^{3}}$，x∈（0，1]，
h′（x）=$\frac{{-（x-1）}^{2}+7}{{x}^{4}}$＞0，
h（x）在（0，1]遞增，
故h（x）_max=h（1）=-2，
故a≥-2，
故答案為：[-2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．