Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）P是曲線C上任意一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數(shù)能得到直線l的直角坐標(biāo)方程，由ρ²-4ρcosθ+1=0，ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）曲線C的圓心為（2，0），半徑為$\sqrt{3}$，求出圓心到直線$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$的距離，由此能求出P到直線l的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數(shù)t得，
直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$．…（2分）
∵ρ²-4ρcosθ+1=0，ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程x²+y²-4x+1=0…（4分）
（Ⅱ）∵曲線C的直角坐標(biāo)方程x²+y²-4x+1=0，
∴曲線C：（x-2）²+y²=3…（5分），圓心為（2，0），半徑為$\sqrt{3}$…（6分）
圓心到直線$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$的距離$d=\frac{{|\sqrt{3}×2-0-3\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（8分）
∴P到直線l的距離的最大值$M=d+r=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．