Question

4．如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=60°，AA₁=3，AC，BD相交于點O，E為線段AD₁上一點．
（1）試確定點E的位置，使得A₁B∥OE；
（2）在（1）的條件下，求A₁C與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線的性質(zhì)進行證明即可．
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可進行求解即可．

解答 解：（1）連接A₁D，當E是AD₁的中點時，滿足A₁B∥OE，
則當E是AD₁的中點時，∵O是BD的中點，
則OE是△A₁BD的中位線，
則A₁B∥OE．
（2）在（1）的條件下，E是AD₁的中點，連接AD₁，
則AD₁和A₁D相交于E，
取BC的中點F，連接AF，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=60°，
∴AF⊥BC，AF⊥AD，
建立以A為坐標原點，AF，AD，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵AA₁=3，
∴A（0，0，0），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，3），D（0，2，0），D₁（0，2，3），E（0，1，$\frac{3}{2}$），C（$\sqrt{3}$，1，0），
則$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（$\sqrt{3}$，1，-3），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{3}{2}$），
設平面ACE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=y+$\frac{3}{2}$z=0，
令x=$\sqrt{3}$，則y=-3，z=2，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，2），

點評 本題主要考查直線平行的證明以及直線和平面所成角的求解，根據(jù)條件建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決空間角常用飛方法．