2.已知圓O:x2+y2=4和點(diǎn)M(1,a).
(Ⅰ)若過點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切,求實(shí)數(shù)a的值,并求出切線方程.
(Ⅱ)a=$\sqrt{2}$,過點(diǎn)M作圓O的兩條弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.

分析 (Ⅰ)要求過點(diǎn)M的切線方程,關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo),由M點(diǎn)也在圓上,故滿足圓的方程,則易求M點(diǎn)坐標(biāo),然后代入圓的切線方程,整理即可得到答案.
(Ⅱ)由于直線AC、BD均過M點(diǎn),故可以考慮設(shè)兩個直線的方程為點(diǎn)斜式方程,但由于點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的情況,故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況,然后利用弦長公式,及基本不等式進(jìn)行求解.

解答 解:(Ⅰ)由條件知點(diǎn)M在圓O上,
∴1+a2=4
∴a=±$\sqrt{3}$
當(dāng)a=$\sqrt{3}$時,點(diǎn)M為(1,$\sqrt{3}$),kOM=$\sqrt{3}$,k切線=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
此時切線方程為:y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-1)
即:x+$\sqrt{3}$y-4=0
當(dāng)a=-$\sqrt{3}$時,點(diǎn)M為(1,-$\sqrt{3}$),kOM=-$\sqrt{3}$,k切線=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
此時切線方程為:y+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-1)
即:x-$\sqrt{3}$y-4=0
∴所求的切線方程為:x+$\sqrt{3}$y-4=0或x-$\sqrt{3}$y-4=0
(Ⅱ)當(dāng)AC的斜率為0或不存在時,可求得AC+BD=2($\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)
當(dāng)AC的斜率存在且不為0時,
設(shè)直線AC的方程為y-$\sqrt{2}$=k(x-1),
直線BD的方程為y-$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{k}$(x-1),
由弦長公式l=2$\sqrt{{r}^{2}-hhdpznx^{2}}$
可得:AC=2$\sqrt{\frac{3{k}^{2}+2\sqrt{2}k+2}{{k}^{2}+1}}$
BD=2$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-2\sqrt{2}k+3}{{k}^{2}+1}}$
∵AC2+BD2=4($\frac{3{k}^{2}+2\sqrt{2}k+2}{{k}^{2}+1}$+$\frac{2{k}^{2}-2\sqrt{2}k+3}{{k}^{2}+1}$)=20
∴(AC+BD)2=AC2+BD2+2AC×BD≤2(AC2+BD2)=40
故AC+BD≤2$\sqrt{10}$
即AC+BD的最大值為2$\sqrt{10}$

點(diǎn)評 求過一定點(diǎn)的圓的切線方程,首先必須判斷這點(diǎn)是否在圓上.若在圓上,則該點(diǎn)為切點(diǎn),若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則 過點(diǎn)P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2(r>0);若在圓外,切線應(yīng)有兩條.一般用“圓心到切線的距離等于半徑長”來解較為簡單.若求出的斜率只有一個,應(yīng)找出過這一點(diǎn)與x軸垂直的另一條切線.

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