Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x
（1）求當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過原點(diǎn)分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l₁、l₂，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：a=0或$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)出切線方程以及切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，${f^/}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}（x＞0）$．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．…（5分）
（2）解法1  設(shè)切線l₂的方程為y=k₂x，切點(diǎn)為（x₂，y₂），
則${y_2}={e^{x_2}}$，${k_2}={g^/}（{x_2}）$=${e^{x_2}}=\frac{y_2}{x_2}$，所以x₂=1，y₂=e，于是${k_2}={e^{x_2}}=e$，
由題意知，切線l₁的斜率為${k_1}=\frac{1}{k_2}=\frac{1}{e}$，l₁的方程為$y={k_1}x=\frac{1}{e}x$．
設(shè)l₁與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x₁，y₁），
則${k_1}={f^/}（{x_1}）=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}=\frac{y_1}{x_1}$，所以${y_1}=\frac{x_1}{e}=1$-ax₁，$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$．
又因?yàn)閥₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$．
令$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，則${m^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
若x₁∈（0，1），因?yàn)?m（\frac{1}{e}）=-2+e-\frac{1}{e＞0\;}\;，\;m（1）=-\frac{1}{e}＜0$，
所以${x_1}∈（\frac{1}{e}\;，\;1）$，而$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$在${x_1}∈（\frac{1}{e}\;，\;1）$上單調(diào)遞減，所以$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．
若x₁∈（1，+∞），因?yàn)閙（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（e）=0，
所以x₁=e，所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$=0．
綜上可知：a=0或$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．…（12分）
解法2   設(shè)切線l₂的方程為y=k₂x，切點(diǎn)為（x₂，y₂），
則${y_2}={e^{x_2}}$，${k_2}={g^/}（{x_2}）$=${e^{x_2}}=\frac{y_2}{x_2}$，
所以x₂=1，y₂=e，于是${k_2}={e^{x_2}}=e$，
由題意知，切線l₁的斜率為${k_1}=\frac{1}{k_2}=\frac{1}{e}$，l₁的方程為$y={k_1}x=\frac{1}{e}x$．
設(shè)l₁與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x₁，y₁），
則${k_1}={f^/}（{x_1}）=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}=\frac{y_1}{x_1}$，所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$．
又因?yàn)閥₁=lnx₁-a（x₁-1），所以$\frac{1}{x_1}-a=\frac{{ln{x_1}-a（{x_1}-1）}}{x_1}$，
所以$ln{x_1}=1-a\;，\;{x_1}={e^{1-a}}$，消去x₁得e^a-ae-1=0．
令p（a）=e^a-ae-1，則p′（a）=e^a-e，
p（a）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
當(dāng)a∈（-∞，1）時(shí)，因?yàn)閜（0）=0，所以a=0．
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，因?yàn)閜（1）=-1＜0，
p（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
而$\frac{e-1}{e}＜1$，$\frac{{{e^2}-1}}{e}＞2$，所以$\frac{e-1}{e}＜a＜$$\frac{{{e^2}-1}}{e}$，
綜上可知：a=0或$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線的切線方程問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．