Question

9．已知△ABC中，角C為直角，D是BC邊上一點，M是AD上一點，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，則|MA|=2．

Answer 1

分析 設∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AC}{sin2θ}$，在△AMB中，由正弦定理可得$\frac{MA}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AB}{sin（π-θ）}$，繼而可得$\frac{CD}{MA}$=$\frac{1}{2}$，問題得以解決

解答 解：設∠DBM=θ，則∠ADC=2θ，∠DAC=$\frac{π}{2}$-2θ，∠AMB=$\frac{π}{2}$-2θ，
在△CDA中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AC}{sin2θ}$，
在△AMB中，由正弦定理可得$\frac{MA}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AB}{sin（π-θ）}$，
∴$\frac{CD}{MA}$=$\frac{ACsinθ}{ABsin2θ}$=$\frac{ACsinθ}{2ABsinθcosθ}$=$\frac{1}{2}$，
從而MA=2，
故答案為：2．

點評 本題考查了正弦定理的應用，關鍵是掌握應用的條件，屬于中檔題．