Question

（本小題滿分14分）已知遞增等差數(shù)列中的是函數(shù)的兩個零點．數(shù)列滿足，點在直線上，其中是數(shù)列的前項和．

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）令，求數(shù)列的前n項和．

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查函數(shù)零點、等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力. 第一問，先解出函數(shù)的兩個零點，由于數(shù)列是遞增數(shù)列，排除一組解，再利用等差數(shù)列的通項公式求，利用點在直線上，得到與的關系式，再利用證出數(shù)列是等比數(shù)列，最后利用等比數(shù)列的前n項和公式求；第二問，利用第一問的結論，先求出表達式，利用錯位相減法求和，在此過程中要用到等比數(shù)列的前n項和公式計算.

試題解析：（1）∵，是函數(shù)的兩個零點，則

，解得：或. ..2分

又等差數(shù)列遞增，則，∴ .4分

∵點在直線上，則。

當時，，即. .5分

當時， ，即. .. 6分

∴數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，即. . 7分

（2）由（1）知：且， ... 8分

則 ...9分

∴①

② . 10分

①-②得： . 12分

∴. 或寫 . 14分

考點：等差、等比數(shù)列的通項公式；錯位相減法求數(shù)列的和.