Question

1．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=2，則x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$的最小值為2．

Answer 1

分析 由配方可得x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義是直線x+y=2上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到A（1，0）和到y(tǒng)軸的距離的和，過A作直線x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)B，過B再作y軸的垂線，垂足為H，BH的長(zhǎng)為最小值．計(jì)算對(duì)稱點(diǎn)B，即可得到所求最小值．

解答 解：x+$\sqrt{{x^2}+{y^2}-2x+1}$=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義是
直線x+y=2上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到A（1，0）和到y(tǒng)軸的距離的和，
如圖，過A作直線x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)B，
過B再作y軸的垂線，垂足為H，BH的長(zhǎng)為最小值．
設(shè)B（m，n），可得$\frac{n-0}{m-1}$=1，$\frac{1}{2}$（m+1）+$\frac{1}{2}$n=2，
解得m=2，n=1，
即B（2，1），則|BH|=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用幾何意義，以及對(duì)稱思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．