Question

4．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AA₁、CC₁的中點(diǎn)，AC∩BD=O，連接A₁D，A₁B，DF，BF，求證：BD⊥A₁F．

Answer 1

分析 由題意可證A₁O⊥BD，OF⊥BD，利用線面垂直的判定可證BD⊥平面A₁OF，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)即可證明得解．

解答 解：如圖，連接，A₁O，A₁F，OF，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D=A₁B，O為BD的中點(diǎn)，
∴A₁O⊥BD，
又∵F是CC₁的中點(diǎn)，可得：DF=BF，
∴OF⊥BD，
又∵A₁O∩OF=O，
∴BD⊥平面A₁OF，
∵A₁F?平面A₁OF，
∴BD⊥A₁F．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，要證線線垂直，可找線面垂直，反之亦然．這是立體幾何證明垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法．除此之外，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系通過計(jì)算找線線垂直，如勾股定理等，有時(shí)會(huì)利用平面幾何的性質(zhì)，如等腰三角形底邊上的三線合一等等，屬于中檔題．