Question

17．如圖，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁與側(cè)面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2$\sqrt{3}$．
（1）求證：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁=3$\sqrt{2}$，D₁為線段A₁C₁上的點(diǎn)，且三棱錐C-B₁C₁D₁的體積為$\sqrt{3}$，求$\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）證明：連AC₁，CB₁，證明CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，得到CC₁⊥平面OAB₁，即可證明CC₁⊥AB₁．
（2）推導(dǎo)出OA⊥平面B₁C₁C，從而$\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{V}_{{D}_{1}-{B}_{1}C{C}_{1}}}{{V}_{A-{B}_{1}C{C}_{1}}}$，由此能求出$\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$的值．

解答 證明：（1）連AC₁，CB₁，
∵在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁與側(cè)面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，
∴△ACC₁和△B₁CC₁皆為正三角形．
取CC₁中點(diǎn)O，連OA，OB₁，則CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
∵OA∩OB₁=O，∴CC₁⊥平面OAB₁，
∵AB₁?平面OAB₁，∴CC₁⊥AB₁．
解：（2）∵AC=2$\sqrt{3}$，AB₁=3$\sqrt{2}$，
∴由（1）知，OA=OB₁=3，∴$O{A}^{2}+O{{B}_{1}}^{2}$=AB₁²，
∴OA⊥OB₁，∴OA⊥平面B₁C₁C，
${S}_{△{B}_{1}C{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}C{C}_{1}•O{B}_{1}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，
∴${V}_{A-{B}_{1}C{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}C{C}_{1}}×AO$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，
∵D₁為線段A₁C₁上的點(diǎn)，且三棱錐C-B₁C₁D₁的體積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{V}_{{D}_{1}-{B}_{1}C{C}_{1}}}{{V}_{A-{B}_{1}C{C}_{1}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線段的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．