Question

10．在△ABC中，sinA，ainB，sinC成等比數(shù)列，則當(dāng)cosB的值最小時(shí)，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列與正弦、余弦定理，利用基本不等式求出cosB的最小值，
得出此時(shí)A=B=C=$\frac{π}{3}$，從而求出$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

解答 解：△ABC中，sinA，ainB，sinC成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinAsinC，
∴b²=ac；
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=”；
∴cosB的最小值是$\frac{1}{2}$，且a=c；
∴A=C，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦、余弦定理及等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．