Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x（ax2+2x﹣1），a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求證：過(guò)點(diǎn)P（1，0）有三條直線與曲線y=f（x）相切；
（Ⅱ）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）+1≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）證明：當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=e2x（4x2+2x﹣1）， f'（x）=e2x2（4x2+2x﹣1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x）
設(shè)直線與曲線y=f（x）相切，其切點(diǎn)為（x0 ， f（x0）），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0 ， f（x0））處的切線方程為：y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），
因?yàn)榍芯�過(guò)點(diǎn)P（1，0），所以﹣f（x0）=f'（x0）（1﹣x0），
即 ，
∵ ，∴ ，
設(shè)g（x）=8x3﹣14x+1，
∵g（﹣2）=﹣35＜0，g（0）=1＞0，g（1）=﹣5＜0，g（2）=37＞0
∴g（x）=0在三個(gè)區(qū)間（﹣2，0），（0，1），（1，2）上至少各有一個(gè)根．
又因?yàn)橐辉�三次方程至多有三個(gè)根，所以方程8x3﹣14x+1=0恰有三個(gè)根，
故過(guò)點(diǎn)P（1，0）有三條直線與曲線y=f（x）相切．
（Ⅱ）∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）+1≥0，即當(dāng)x≤0時(shí)，e2x（ax2+2x﹣1）+1≥0，
∴當(dāng)x≤0時(shí)， ，
設(shè) ，
則 ，
設(shè) ，則 ．
（i）當(dāng)a≥﹣2時(shí)，∵x≤0，∴ ，從而m'（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）
∴ 在（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，
又∵m（0）=0，∴當(dāng)x≤0時(shí)，m（x）≤0，從而當(dāng)x≤0時(shí)，h'（x）≤0，
∴ 在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，又∵h(yuǎn)（0）=0，
從而當(dāng)x≤0時(shí)，h（x）≥0，即
于是當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）+1≥0，
（ii）當(dāng)a＜﹣2時(shí)，令m'（x）=0，得 ，∴ ，
故當(dāng) 時(shí)， ，
∴ 在 上單調(diào)遞減，
又∵m（0）=0，∴當(dāng) 時(shí)，m（x）≥0，
從而當(dāng) 時(shí)，h'（x）≥0，
∴ 在 上單調(diào)遞增，
又∵h(yuǎn)（0）=0，
從而當(dāng) 時(shí)，h（x）＜0，即
于是當(dāng) 時(shí)，f（x）+1＜0，
綜合得a的取值范圍為[﹣2，+∞）．
解法二：（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=e2x（4x2+2x﹣1），
f'（x）=e2x2（4x2+2x﹣1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x），
設(shè)直線與曲線y=f（x）相切，其切點(diǎn)為（x0 ， f（x0）），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0 ， f（x0））處的切線方程為y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），
因?yàn)榍芯�過(guò)點(diǎn)P（1，0），所以﹣f（x0）=f'（x0）（1﹣x0），）
即 ，
∵ ，∴
設(shè)g（x）=8x3﹣14x+1，則g'（x）=24x2﹣14，令g'（x）=0得 ，
當(dāng)x變化時(shí)，g（x），g'（x）變化情況如下表：

x
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴8x3﹣14x+1=0恰有三個(gè)根，
故過(guò)點(diǎn)P（1，0）有三條直線與曲線y=f（x）相切．
（Ⅱ）同解法一
【解析】（Ⅰ）方法一、求出f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，設(shè)直線與曲線y=f（x）相切，其切點(diǎn)為（x0 ， f（x0）），求出切線的方程，代入P的坐標(biāo)，整理成三次方程，運(yùn)用兩點(diǎn)存在定理，考慮方程的根的情況即可得證； 方法二、求出f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，設(shè)直線與曲線y=f（x）相切，其切點(diǎn)為（x0 ， f（x0）），求出切線的方程，代入P的坐標(biāo)，整理成三次方程，構(gòu)造三次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間及極值，即可得證；（Ⅱ）由題意可得當(dāng)x≤0時(shí)，e2x（ax2+2x﹣1）+1≥0，構(gòu)造 ，設(shè) ，求出導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，運(yùn)用單調(diào)性即可得到a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．