Question

己知在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanC=

ab

a2+b2-c2

．
（Ⅰ）求角C大�。�     
（Ⅱ）當(dāng)c=1時，求ab的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡已知條件，銳角求角C大�。�     
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果，結(jié)合c=1，通過正弦定理，化簡ab的表達(dá)式，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡為一個角的三角函數(shù)的形式，通過相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解ab取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知及余弦定理，化簡tanC=

ab

a2+b2-c2

，
可得

sinC

cosC

=

ab

2abcosC

，
∴sinC=

1

2

，
∵C為銳角，∴C=30°．
（Ⅱ）由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2，
∴a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
ab=4sinAsinB=4sinAsin(A+

π

6

)
=4sinA(

3

2

sinA+

1

2

cosA)=2

3

sin2A+2sinAcosA
=

3

+sin2A-

3

cos2A
=

3

+2sin(2A-

π

3

)，
由

0°＜A＜90° 0°＜150°-A＜90°

，
可得：60°＜A＜90°，
∴60°＜2A-60°＜120°∴

3

2

＜sin(2A-

π

3

)≤1．
∴2

3

＜ab≤2+

3

．

點評：本題考查正弦定理以及余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．