Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=2（a_n+2ⁿ），若不等式2n²-n-3＜λa_n對(duì)?n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$（\frac{3}{8}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n+1=2（a_n+2ⁿ），變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=（n+3）•2ⁿ．不等式2n²-n-3＜λa_n對(duì)?n∈N^*恒成立，化為λ＞$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=b_n，再利用數(shù)列{b_n}的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2（a_n+2ⁿ），∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1．
∴a_n=（n+3）•2ⁿ．
不等式2n²-n-3＜λa_n對(duì)?n∈N^*恒成立，
∴λ＞$\frac{2{n}^{2}-n-3}{（n+3）•{2}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=b_n，
b₁＜0，n≥2時(shí)，b_n＞0，
b_n+1-b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{5-2n}{{2}^{n+1}}$，
可得n=2時(shí)，b₂＜b₃，
n≥3時(shí)，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減．
因此n=3時(shí)，b_n取得最大值，b₃=$\frac{3}{8}$．
∴$λ＞\frac{3}{8}$．
故答案為：$（\frac{3}{8}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．