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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點M(0,2),離心率e=
6
3

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設過定點N(2,0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l斜率的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由題意得b=2,
c
a
=
6
3
,由此能求出橢圓的方程.
(Ⅱ) 設A(x1,y1),B(x2,y2),則
OA
=(x1y1),
OB
=(x2y2)
.設直線l的方程為y=k(x-2),由
x2
12
+
y2
4
=1
y=k(x-2)
,得x2+3k2(x-2)2=12.由此能夠求出直線l斜率的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點M(0,2),離心率e=
6
3
,
b=2,
c
a
=
6
3

結合a2=b2+c2,解得a2=12.
所以,橢圓的方程為
x2
12
+
y2
4
=1

(Ⅱ) 設A(x1,y1),B(x2,y2),
OA
=(x1y1),
OB
=(x2,y2)

設直線l的方程為:y=k(x-2),
x2
12
+
y2
4
=1
y=k(x-2)
,得x2+3k2(x-2)2=12,
即(1+3k2)x2-12k2x+12k2-12=0.
所以x1+x2=
12k2
1+3k2
,x1x2=
12k2-12
1+3k2

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[(x1x2-2(x1+x2)+4]
=
12k4-12k2
1+3k2
-
24k4
1+3k2
+
12k4+4k2
1+3k2

=-
8k2
1+3k2
OA
OB
=x1x2+y1y2
=
4k2-12
1+3k2
>0
,
解得k>
3
或k<-
3

故直線L斜率的取值范圍{k|k>
3
或k<-
3
}.
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查直線的斜率的取值范圍的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點分別為F1,F2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經過點M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)當m=-1時,求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內心的橫坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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