Question

有一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為5，圓心角為216°的扇形，在這個圓錐中內接一個高為2的圓柱．
（1）求圓錐的體積；
（2）求圓錐與圓柱的體積之比．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用側面展開圖中心角公式求得圓錐的底面圓半徑，再利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐的體積公式計算；
（2）根據軸截面圖，設圓柱的底面半徑為R，可得

3-R

3

=

2

4

，求出內接圓柱的底面圓半徑，計算圓柱的體積，可求圓錐與圓柱的體積之比．

解答： 解：（1）∵圓錐側面展開圖的半徑為5，∴圓錐的母線長為5．設圓錐的底面半徑為r，
則2πr=

216×π×5

180

，解得r=3，
∴圓錐的高為

52-32

=4．
∴圓錐的體積V=

1

3

πr2h=

1

3

π×32×4=12π．
（2）如圖為軸截面圖，設圓柱的底面半徑為R，
則

3-R

3

=

2

4

，∴R=

3

2

．
∴圓柱的體積為V′=πR2×2=π×(

3

2

)2×2=

9

2

π．
∴圓錐與圓柱體積之比為12π：

9π

2

=8：3．

點評：本題考查了圓錐的側面展開圖及側面展開圖中心角公式，考查了圓錐與圓柱的體積公式，解題的關鍵是利用比例關系求得內接圓柱的底面圓半徑．