Question

3．若曲線y=lnx+ax²-2x（a為常數(shù)）不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可知y′≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得a≥$\frac{1}{x}-\frac{1}{2{x}^{2}}=\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，求出右側函數(shù)的最大值即可得出a的范圍．

解答 解：y′=$\frac{1}{x}+2ax-2$，x∈（0，+∞），
∵曲線y=lnx+ax²-2x（a為常數(shù)）不存在斜率為負數(shù)的切線，
∴y′=$\frac{1}{x}+2ax-2$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}-\frac{1}{2{x}^{2}}=\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$恒成立，x∈（0，+∞）．
令f（x）=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），則f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{3}}$，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，f（x）=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$取得最大值f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a$≥\frac{1}{2}$．
故答案為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．