Question

15．如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=$\sqrt{7}$，四邊形ABCD是正方形．
（1）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體EABC是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每一個(gè)面的直角，并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求四面體EABC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，從而B(niǎo)C⊥AB，再上BC⊥面ABE，知BC⊥BE，從而得到四面體EABC是鱉臑．
（2）AE是三棱錐A-BCE的高，求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)，由此能求出四面體EABC的體積．

解答 解：（1）∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，
∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形有，∴BC⊥AB，
∴BC⊥面ABE，又BE?面ABE，∴BC⊥BE，
∴四面體EABC是鱉臑．
（2）由（1）得AE是三棱錐A-BCE的高，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AB=BC=x，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，EC=$\sqrt{7}$，
在Rt△BEC中，EC²=BE²+BC²，
即（$\sqrt{7}$）²=x²+x²-1，解得x=2，
∴${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴四面體EABC的體積${V}_{A-BCE}=\frac{1}{3}•AE•{S}_{△BCE}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體是否為鱉臑的判斷，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．