Question

7．某次運(yùn)動(dòng)會(huì)的游泳比賽中，已知5名游泳運(yùn)動(dòng)員中有1名運(yùn)動(dòng)員服用過(guò)興奮劑，需要通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)蛞簛?lái)確定因服用過(guò)興奮劑而違規(guī)的運(yùn)動(dòng)員，尿液檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為服用過(guò)興奮劑的運(yùn)動(dòng)員，呈陰性則沒(méi)有服用過(guò)興奮劑，組委會(huì)提供兩種檢驗(yàn)方法：
方案A：逐個(gè)檢驗(yàn)，直到能確定服用過(guò)興奮劑的運(yùn)動(dòng)員為止．
方案B：先任選3名運(yùn)動(dòng)員，將他們的尿液混在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明違規(guī)的運(yùn)動(dòng)員是這3名運(yùn)動(dòng)員中的1名，然后再逐個(gè)檢驗(yàn)，直到能確定為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2名運(yùn)動(dòng)員中任選1名檢驗(yàn)．
（Ⅰ）求依方案A所需檢驗(yàn)次數(shù)不少于依方案B所需檢驗(yàn)次數(shù)的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案B所需檢驗(yàn)次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意得到這兩種方案的化驗(yàn)次數(shù)，算出在各個(gè)次數(shù)下的概率，寫(xiě)出化驗(yàn)次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．
（2）根據(jù)上一問(wèn)乙的化驗(yàn)次數(shù)的分布列，利用期望計(jì)算公式得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能：
①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：$\frac{{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$×$\frac{1}{{A}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．
②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌鼉芍恢序?yàn)出陽(yáng)性（無(wú)論第二次試驗(yàn)中有沒(méi)有，均可以在第二次結(jié)束）：
$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{5}^{3}}•\frac{{A}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
∴乙只用兩次的概率為$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$．
若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能：
先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌�(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好二次驗(yàn)中概率為在三次驗(yàn)出時(shí)概率為$\frac{2}{5}$．
∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：$\frac{3}{5}$×$（1-\frac{1}{5}）$+$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}）$=$\frac{18}{25}$．
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．