Question

10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．設(shè)EF與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)P作PH⊥BD，垂足為H．
（Ⅰ）求證：PH⊥底面BFDE；
（Ⅱ）若四棱錐P-BFDE的體積為12，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PD⊥PF，PD⊥PE，則PD⊥平面PEF，從而平面PBD⊥平面BFDE，由此能證明PH⊥底面BFDE．
（Ⅱ）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，推導(dǎo)出PO⊥PD，從而PH=$\frac{x}{3}$，由四棱錐P-BFDE的體積為12，求出正方形ABCD的邊長為6．

解答 證明：（Ⅰ）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．
∴PD⊥PF，PD⊥PE，
∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．
∴PD⊥平面PEF．
又∵EF?平面PEF，
∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，
∴EF⊥平面PBD，
又EF?平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．
∵平面PBD∩平面BFDE=BD，過點(diǎn)P作PH⊥BD，垂足為H，
∴PH⊥底面BFDE．
解：（Ⅱ）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，
則PD=x，PE=PF=$\frac{1}{2}x$，DB=$\sqrt{2}x$，DE=DF=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，∠BPD=90°，
PO=$\sqrt{P{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{8}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，OD=$\sqrt{\frac{5}{4}{x}^{2}-\frac{1}{8}{x}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x，
∴PO²+PD²=OD²，∴PO⊥PD，
∴$\frac{1}{2}×OD×PH=\frac{1}{2}×OP×PD$，
∴PH=$\frac{OP×PD}{OD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}x}{4}×x}{\frac{3\sqrt{2}}{4}x}$=$\frac{x}{3}$，
∵四棱錐P-BFDE的體積為12，
∴V_P-BFDE=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形BFDE}×PH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×EF×PH$=$\frac{1}{6}×\sqrt{2}x×\frac{\sqrt{2}}{2}x×\frac{x}{3}$=12，
解得x=6．
∴正方形ABCD的邊長為6．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查正方形邊長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．