Question

17．若不等式|b+2|-|b-2|≤a≤|b+2|+|2-b|對(duì)于任意b∈R都成立．
（1）求a的值；
（2）設(shè)x＞y＞0，求證：$2x-2y+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}≥a-1$．

Answer 1

分析 （1）由|b+2|-|2-b|≤|b+2+2-b|=4，當(dāng)且僅當(dāng)b≥2時(shí)等號(hào)成立，4=|b+2+2-b|≤|b+2|+|2-b|，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤b≤2時(shí)等號(hào)成立，即可求a的值；
（2）作差，利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：|b+2|-|2-b|≤|b+2+2-b|=4，當(dāng)且僅當(dāng)b≥2時(shí)等號(hào)成立，4=|b+2+2-b|≤|b+2|+|2-b|，
當(dāng)且僅當(dāng)-2≤b≤2時(shí)等號(hào)成立，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)b，不等式|b+2|-|b-2|≤a≤|b+2|+|2-b|都成立．
∴a=4．
（2）證明：$2x+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}-2y=（x-y）+（x-y）+\frac{1}{{{{（x-y）}^2}}}$，
∵x＞y＞0，∴$（x-y）+\;（x-y）\;+\frac{1}{{{{（x-y）}^2}}}≥3\root{3}{{（x-y）\;•\;（x-y）\;•\;\frac{1}{{{{（x-y）}^2}}}}}=3$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y+1時(shí)等號(hào)成立，
∴$2x+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}-2y≥3$，
即$2x-2y+\frac{1}{{{x^2}-2xy+{y^2}}}≥a-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，正確變形是關(guān)鍵．