分析 (Ⅰ)通過離心率以及由余弦定理,轉(zhuǎn)化求解橢圓C的方程.
(Ⅱ)因為直線PQ的斜率存在,設(shè)直線方程為y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立{y=k(x−1)x24+y23=1,由韋達(dá)定理求解N,M的坐標(biāo),MN⊥PQ,轉(zhuǎn)化求解即可.
解答 解:(Ⅰ)由e=12,得a=2c,
因為|AF1|=2,|AF2|=2a-2,
由余弦定理得|AF1|2+|AF2|−2|AF1|•|AF2|cosA=|F1F2|2,
解得c=1,a=2,
∴b2=a2-c2=3,
∴橢圓C的方程為x24+y23=1.
(Ⅱ)因為直線PQ的斜率存在,設(shè)直線方程為y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立{y=k(x−1)x24+y23=1整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
由韋達(dá)定理知x1+x2=8k23+4k2,y1+y2=k(x1+x2)−2k=−6k3+4k2,
此時N(4k23+4k2,−3k3+4k2),又M(0,18),則kMN=18+3k3+4k20−4k23+4k2=−24k+3+4k232k2,
∵M(jìn)N⊥PQ,∴kMN=−1k,得到k=12或32.
則kMN=-2或kMN=−23,MN的直線方程為16x+8y-1=0或16x+24y-3=0.
點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查計算能力.
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A. | π | B. | \frac{3π}{2} | C. | 2π | D. | 3π |
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