Question

19．已知函數(shù)f（x）=cos（x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），g（x）=f（x）+f'（x）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的計算求出f'（x），利用g（x）=f（x）+f'（x）是偶函數(shù)．即可求出ϕ的值
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）•g（x），求出函數(shù)y的解析式，化簡，x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$的時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos（x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），
那么：f′（x）=-sin（x+ϕ）
依題意，g（x）=f（x）+f'（x）=cos（x+ϕ）-sin（x+ϕ）=$\sqrt{2}cos（x+ϕ+\frac{π}{4}）$．
∵g（x）=f（x）+f'（x）是偶函數(shù)，
∴$cos（ϕ+\frac{π}{4}）=±1$．
又∵-π＜ϕ＜0，
∴$ϕ=-\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=cos（x-\frac{π}{4}）$，$g（x）=f（x）+f'（x）=\sqrt{2}cosx$．
那么函數(shù)$y=f（x）•g（x）=\sqrt{2}cos（x-\frac{π}{4}）cosx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時，可得：$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$
∴$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}∈[{1，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$，
故函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{4}}]$的最大值為$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求法以及化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．