Question

17．各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=1，a₂=3，則數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列和等比數(shù)列中項的性質(zhì)，運用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的通項公式求出$\sqrt{_{n}}$的通項公式，進而求出b_n，a_n．

解答 解：∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=$\sqrt{_{n}_{n+1}}$③．
將③代入①得，對任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=$\sqrt{_{n-1}_{n}}$+$\sqrt{_{n}_{n+1}}$．
∵b_n＞0，
∴2$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$，
∴{$\sqrt{_{n}}$}是等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}的公差為d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=$\frac{9}{2}$．
∴$\sqrt{_{1}}$=$\sqrt{2}$，$\sqrt{_{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
d=$\sqrt{_{2}}$-$\sqrt{_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n-1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），
∴b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）²，
a_n=$\sqrt{_{n-1}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
故答案為：${a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．

點評 本題考查了等差、等比數(shù)列的通項公式，利用構(gòu)造等差數(shù)列法求得數(shù)列{$\sqrt{_{n}}$}的通項公式是解答本題的突破口，本題還考查了學(xué)生的運算能力，運算要細心．