Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+3，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（f（x））-2=0恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [1，3]
• C． （-1，-$\frac{1}{3}$]
• D． [-1，-$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 令f（t）=2，解出t，則f（x）=t，討論k的符號(hào)，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出t的范圍即可．

解答 解：令f（t）=2得t=-1或t=-$\frac{1}{k}$（k≠0）．
∵f（f（x））-2=0，∴f（f（x））=2，
∴f（x）=-1或f（x）=-$\frac{1}{k}$（k≠0）．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=-1無(wú)解，即f（f（x））-2=0無(wú)解，不符合題意；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=-1無(wú)解，f（x）=-$\frac{1}{k}$無(wú)解，即f（f（x））-2=0無(wú)解，不符合題意；
（3）當(dāng)k＜0時(shí)，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=-1有1解，
∵f（f（x））-2=0有3解，∴f（x）=-$\frac{1}{k}$有2解，
∴1$＜-\frac{1}{k}≤3$，解得-1＜k≤-$\frac{1}{3}$．
綜上，k的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{3}$]．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．