Question

18．已知A為橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的點，過A作AB⊥x軸，垂足為B，延長BA到C使得|AB|=|AC|．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）若直線l過點D（2，3）且與點C的軌跡只有一個公共點，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（x，y），A（x₀，y₀），可得B（x₀，0），由|AB|=|AC|，可得A是BC的中點，因此$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=x}\\{{y_0}=\frac{y}{2}}\end{array}}\right.$，利用點A在橢圓上即可得出．
（2）對直線l的斜率分類討論，利用直線與橢圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：（1）設(shè)C（x，y），A（x₀，y₀），則B（x₀，0），
∵|AB|=|AC|，∴A是BC的中點，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=x}\\{{y_0}=\frac{y}{2}}\end{array}}\right.$，
∵點A在橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，把點A坐標代入可得x²+y²=4，
∴點C的軌跡方程為x²+y²=4．
（2）∵直線l與x²+y²=4只有一個交點，∴直線l與圓只有一個交點相切，當直線l的斜率存在時，
設(shè)直線l的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，由$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得$k=\frac{5}{12}$，
∴直線l的方程為5x-12y+26=0．
當直線l的斜率不存在，即方程為x=2，也滿足題意．
∴要求的直線l的方程為5x-12y+26=0或x=2．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、中點坐標公式、直線與橢圓相切的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．