Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中，橢圓長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A，B兩點，
①若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為$-\frac{1}{2}$，求斜率k的值；
②已知點$M（-\frac{7}{3}，0）$，求證：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\sqrt{3}b=a$，根據(jù)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$，可得$\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$，再結(jié)合隱含條件求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）①聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得線段AB的中點的橫坐標(biāo)，由線段AB的中點的橫坐標(biāo)為$-\frac{1}{2}$列式求得k值；②由（2）①中根與系數(shù)的關(guān)系及平面向量的坐標(biāo)運算求得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值$\frac{4}{9}$．

解答 （1）解：∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$滿足a²=b²+c²，$\sqrt{3}b=a$，
根據(jù)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$，
可得$\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．
從而可解得${a^2}=5，\;\;{b^2}=\frac{5}{3}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$；
（2）①解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=k（x+1）代入$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$中，
消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，
∵AB中點的橫坐標(biāo)為$-\frac{1}{2}$，∴$-\frac{{3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}=-\frac{1}{2}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
②證明：由①知${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}$，
∴$\overrightarrow{MA}\;•\;\overrightarrow{MB}=（{{x_1}+\frac{7}{3}，\;\;{y_1}}）\;•\;（{{x_2}+\frac{7}{3}，\;\;{y_2}}）=（{{x_1}+\frac{7}{3}}）\;•\;（{{x_2}+\frac{7}{3}}）+{y_1}{y_2}$
=$（{{x_1}+\frac{7}{3}}）\;•\;（{{x_2}+\frac{7}{3}}）+{k^2}（{x_1}+1）（{x_2}+1）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（{\frac{7}{3}+{k^2}}）（{x_1}+{x_2}）+\frac{49}{9}+{k^2}$
=$（1+{k^2}）\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}+（{\frac{7}{3}+{k^2}}）（{-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}}）+\frac{49}{9}+{k^2}$=$\frac{{-3{k^4}-16{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}+\frac{49}{9}+{k^2}=\frac{4}{9}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平面向量的數(shù)量積運算，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．