Question

11．已知$f（x）={cos^2}x-{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+1$
求（1）f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時(shí)，f（x）-3≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2））$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，即得到m的取值范圍．

解答 解：$f（x）={cos^2}x-{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+1$
化解可得：f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
可得kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z
（2）$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時(shí)，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，π]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為：$-\frac{1}{2}×2+1=0$．
要使f（x）-3≥m恒成立，則f（x）_min≥m+3，即0≥m+3，
可得：m≤-3．
故得實(shí)數(shù)m的范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．