Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=a₄+4，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）由a_n=2n知Sn=

(2+2n)×n

2

=n(n+1)．

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和公式．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0．
因?yàn)镾₃=a₄+4，
所以3a1+

3×2×d

2

=a1+3d+4．①
因?yàn)閍₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
所以a1(a1+3d)=(a1+d)2．②…（5分）
由①，②可得：a₁=2，d=2．…（6分）
所以a_n=2n．…（7分）
（Ⅱ）由a_n=2n可知：Sn=

(2+2n)×n

2

=n(n+1)．…（9分）
所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．…（11分）
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn-1

+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
所以數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為

n

n+1

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．