Question

2．我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個問題體現了古代對數列問題的研究，現將墻的厚度改為500尺，則需要幾天時間才能打穿（結果取整數）（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 設需要n天時間才能打穿，則$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$≥500，化為：2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499≥0，令f（n）=2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499，f（x）=${2}^{x}-\frac{2}{{2}^{x}}$-499，（x≥1）．利用函數零點存在定理與函數的單調性即可得出．

解答 解：設需要n天時間才能打穿，則$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$≥500，
化為：2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499≥0，
令f（n）=2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-499，則f（8）=${2}^{8}-\frac{2}{{2}^{8}}$-499=-$\frac{1}{{2}^{7}}$-243＜0．
f（9）=2⁹-$\frac{2}{{2}^{9}}$-499=13-$\frac{1}{{2}^{8}}$＞0．
f（x）=${2}^{x}-\frac{2}{{2}^{x}}$-499，（x≥1）．
∴f（x）在（8，9）內存在一個零點．
又函數f（x）在x≥1時單調遞增，因此f（x）在（8，9）內存在唯一一個零點．
∴需要9天時間才能打穿．
故選：D．

點評 本題考查了函數零點存在定理與函數的單調性、等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．