Question

15．以橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一動點(diǎn)M為圓心，1為半徑作圓M，過原點(diǎn)O作圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，若∠AOB=θ，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 連接OA，OB，OM，則∠AOM∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，由AM=r=1，得OM∈[$\sqrt{2}$，2]，即a=2，b=$\sqrt{2}$．即可得橢圓C的離心率e

解答 解：如圖連接OA，OB，OM，則∠AOM∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]
∵AM=r=1，∴OM∈[$\sqrt{2}$，2]
又因?yàn)閎≤OM≤a，∴a=2，b=$\sqrt{2}$．
橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的離心率，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．