Question

18．如圖，設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)B，連接BF₂并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用k表示）；
（2）若F₁C⊥AB，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B（x_B，y_B），直線AB的方程為y=k（x+2），與橢圓的方程聯(lián)立解可得x_B的值，將x_B的值代入直線方程可得y_B的值，即可得答案；
（2）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得F₂坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線BF₂，CF₁方程，聯(lián)立可得C（8k²-1，-8k），代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中解可得k²的值，即可得答案．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)B（x_B，y_B），直線AB的方程為y=k（x+2），
聯(lián)立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得，（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴$-2{x_B}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，即${x_B}=\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${y_B}=k（{x_B}+2）=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$，
即$B（\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}，\frac{12k}{{3+4{k^2}}}）$．
（2）易知F₂（1，0），${k_{B{F_2}}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$，${k_{C{F_1}}}=-\frac{1}{k}$，
所以直線BF₂，CF₁方程分別為$y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）$，$y=-\frac{1}{k}（x+1）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\\{y=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}（x-1）}\end{array}}\right.$，解得C（8k²-1，-8k），
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
得192k⁴+208k²-9=0，即（24k²-1）（8k²+9）=0，
得${k^2}=\frac{1}{24}$，
所以$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出點(diǎn)A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)．