Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知定圓M：（x+1）²+y²=36，動圓N過點(diǎn)F（1，0）且與圓M相切，記動圓圓心N的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A，P是曲線C上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B（異于點(diǎn)P），若直線AP，BP分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意，|NM|+|NF|=6＞|FM|，由橢圓定義知，圓心N的軌跡為橢圓，且2a=6，c=1，即可求曲線C的方程；
（2）$|{OS}|•|{OT}|=|{{x_S}{x_T}}|=|{\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|$，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）因為點(diǎn)F（1，0）在M：（x+1）²+y²=36內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，則|NM|+|NF|=6＞|FM|，
由橢圓定義知，圓心N的軌跡為橢圓，且2a=6，c=1，則a²=9，b²=8，
所以動圓圓心N的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），S（x_S，0），T（x_T，0），則B（x₁，-y₁），
由題意知x₀≠±x₁．則${k_{AP}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}$，直線AP方程為y-y₁=k_AP（x-x₁），
令y=0，得${x_S}=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}$，同理${x_T}=\frac{{{x_0}（{-{y_1}}）-{x_1}{y_0}}}{{（{-{y_1}}）-{y_0}}}=\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}$，
于是$|{OS}|•|{OT}|=|{{x_S}{x_T}}|=|{\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|$，
又P（x₀，y₀）和A（x₁，y₁）在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$上，
故${y_0}^2=8（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}），{y_1}^2=8（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）$，則${y_1}^2-{y_0}^2=\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}），{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2=8{x_0}^2（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）-8{x_1}^2（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}）=8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）$．
所以$|{OS}|•|{OT}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|=|{\frac{{8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}{{\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}}|=9$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義與方程，考查定值的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．